La sekva diskuto ne celas ŝanĝi la ordinarajn metodojn por prikalkuli kvadratajn radikojn, arkodistancojn, areon de cirkloj kaj cirklosektorojn.

Mi nur volas montri ke per la ACU-dividsistemo kunlige kun la valoro 22/7 = q estas eble prikalkuli tiujn aĵojn per racionalaj nombroj je akceptebla precizeco.

Eĉ se la egiptologoj opinas min "piramidiota" mi daŭre opinias ke la konstruintoj de la piramidoj devis havi sciojn pri kaj matematiko kaj geometrio je pli alta grado ol tiuj kiujn la egiptologoj kutimas atribui al la homoj kiuj vivis dum la kvara dinastio.

Mi jam montris ke eblas kalkuli, praktike uzebla, proksimuman kvadratan radikon per la formulo:

Bildo 29

t.e. se vi konas la longon de latero a₁ en kvadrato vi povas prikalkuli proksimuman valoron por la diagonalo sen helpo de la tezo de Pitagoro.

Bildo 29 montras metodon trovi la diagonalon AD en kvadrato kiu estas duone granda kiel kvadrato kun laterlongo je a1. En ĉi tiu kazo la hipotenuzo AD egalas al la longo de a₁ = 7 kaj sekve la longo de a₀ = v 24,5. La geometria solvo ja estas ekzakta, sed se oni opinias ke empira mezuro de la distanco (˜ 4,9 – 5,0 ) ne estas sufiĉe ekzakta oni povas serĉi la valoron en tabelo kreita per la formulo v (a₁²+a₁²) = proksimume 99 a₁/70, t.e. se vi ne pozedas modernan elektronikan kalkulilon, kiu senprokraste informas ke la serĉata valoro estas 4,9497474 ....

La formulo estas plej praktike uzebla kiam temas pri kvadratoj ĉar tiam oni plej ofte jam komence scias la distancon por a₁.

La supra diskuto do montras ke estas eble difini la lateron a₀ por areo duoble malpli granda ol la elira aero per la diagonalo en kvadrato. Bildo 29 anka montras ke la diagonalo en kvadrato egalas al latero a1 en kvadrato kun duoble granda areo. Por spertaj matematikistoj tio certe ne estas novaĵo.

En la libro de LR/K "El Giza pyramidernas Generaplan" troviĝas priskribo kiel oni geometrie difinas proksimuman a1 por kubo kun duobla volumeno ol la elira kubo kun precizeco je 0,04376 %. (Bedaŭrinde pli profunda klarigo ne eblas pro la limigita spaco de ĉi tiu libreto.)

Kunlige kun la proksimuma solvo de la duobligo de la kubo LR/K mencias ke la centra parto de la Ĝenerala plano de la Piramidoj ĉe El Gize, t.e. la tri malgrandaj piramidoj sude de la piramido de Mikernio, estas planitaj kaj konstruitaj laŭ detala plano je la skalo 1vs : 540/4 = 1vs : 135 vs . "simpligita transkalkula faktoro" por tiu skalo egalas al (540/15) / (105/15) = 36/7 = ?? 9/7 = 1,2857142. metroj por 1 vs". (ŝajnas kiel LR/K forgesis dividi la frakcion 36/7 per 4). Se la lateron en kubo = a₀ = 1 oni povas konstati ke latero a1 en kubo kun duobla volumeno estu proksimume 1,263 = 2,000376. T.e. la skalo 1vs : 135 vs ŝajne rilatas al la geometria duobligo de la kubo (1,28571423 = 2,12536400 ). La proksimuma duobligo de la kubo laŭ la solvo LR/K basiĝas je la anguloj en la triangulo 3-5-7 kaj la ŝovangulo e = 3,49820750

Kiam oni serĉas sin 1^o oni tre rapide povas trovi tiun valoron per elektronika kalkulilo. Mia komputilo asertas ke tiu valoro estas:

Tiu valoro ja estas la kvociento inter la hipotenuzo c = 1 en universala cirklo kaj la ĉeorta latero a en orta triangulo (a/1) vidu bildon 30. Tio signifas ke oni opinias ke tiu valoro egalas al la ĉeorta latero a en orta trangulo ene de sektoro kiu ampleksas1/360 de la cirkla perimetro kaj ke la radiuso havas longon je: c = 180 * 7/22 = 57,272727.Se ni dividas la nombron 360 per p la kvociento estas 114,59165 kaj duono de tiu valoro estas 57,295825. La valoro indikas ke la radiuso en la universala cirklo kovras arkon je proksimume 57,2958.0

Per la ACU-a dividsistemo estas eble difini imaginaran perimetron je 1188 vs = 22/7 * 378 vs kun imaginara radiuso je 189 vs.

                      Arko de 7,5^o = 1188/48 = 24,75 vs

                     Arko de 15^o = 1188/24 = 49,5 vs

                     Arko de 30^o = 1188/12 = 297 vs

                     Arko de 45^o = 1188/8 = 297 vs

                     Arko de 60^o = 1188/6 = 189 vs

                     Arko de 90^o = 1188/4 = 297 vs

                     Arko de 120^o = 1188/3 = 396 vs

                     Arko de 180^o = 1188/2 = 594 vs .

La longo de arbitra arko en vs-oj estas do trovata per jena formulo:

                      arko v_o = 1188 * _vo / 360 = 3,3 * v_o

Se ni utiligas la ACU:an dividsistemon en universala cirklo ni povas prikalkuli la arkon per rationalaj nombroj. Se ni utiligas dividskalon 1:10 , t.e. la perimetro estas dividata en 11880 vs kaj la radiuso en 1890 vs la valoroj por arko de 1^o kaj 15^o iĝas entjeraj. Tiu dividskalo permesas al ni esprimi la sinusvaloron por arko de 1/33^o per entjeroj:

1/r = 1/1890 (= 0,0005291)

Se la longo de arko estas konata oni nur bezonas dividi tiun valoron per 33 je dividskalo 1:10 por trovi kiom da gradoj tiu arko kovras.

Ekz. 2960 vs kovras 2960/33 = 890+23/330 (89,6969690). Se ni bezonas scii kiom da radianoj 2960 vs estas ni nur dividu la vs-valoron per 1890 vs:

Se ni per cirkelo tranĉas la periferion per distancon (n/189)r (0< n >190) de la radiuso oni povas trovi la longon de la arko de tiu kordo uzante la konstanton 198/189 =22/21. Ekz. arko por 1 vs = 22/21 vs = 1 vs + 1/21 vs (1,04769). Inverse eblas trovi la longon de la kordo se la arko estas konata kaj multipliki ĝin per 21/22. ekz. 189 vs * 21/22 = 180 + 9/22 vs de la radiuso .

La kordo ja estas la bazo en izocela triangulo kun "kruroj" egalongaj al la cirkela radiuso. La alto de izocela triangulo dividigas la bazan lateron en du egale longaj partoj. Sciante tion ni povas prikalkuli la duonon de la areo de izocela triangulo kun bazo = 2 vs kiel 1 * 189/2 vs kaj ke la areo de la cirklo estas proksimume: 1 * 189/2 * 1188 =112266 vs2

Mi supozas ke la piramidkonstruintoj, se ili uzis la ACU-an dividsistemon, sciis ke 22/7, kiel valoro por la konstanto p, estas iom tro granda. En tiu kazo ili povis utiligi, je bezono, korektigan konstanton KK = 0,999573 por ke ricevu preskaŭ saman precizecon kiel kiam oni uzas la valoron 3,1416 kiel valoro por la konstanto p. Plej facile, kompreneble, estus se ili tutsimple utiligis la konstanton p je kalkuloj kiuj postulas pli altan precizecon.

Kvadrato kun perimetro je 1188 vs kunlige kun imaginare dividita periferio de cirklo en 1188 partoj ŝajnas esti la praktika solvo de la problemo pri la kvadraturo de cirklo. Uzado de la valoro 22/7 (nomata q por ke oni ne intermiks kun p) kiel valoro por la rilato inter la diametro kaj la periferio de cirklo anstataŭ la konstanto p povas esti avantaĝa en matematika sistemo kie oni uzas rationalaj nombroj kaj esprimas ekz. 2960/1890 per ĉi tiu serio 1+1/2+1/18+1/126+1/378r aŭ per 1 + 1/3, 1/7, 1/21, 1/27, 1/189r La Papiruso de Rhind , indikas ke la egiptoj praktikis tian matematikan sistemon jam 1850 jaroj antaŭ Kristo, eble pro influo de desegnoj sur la blankaj kovroŝtonoj de la Granda Piramido kiuj nun estas forigitaj. (Vidu sube pri 1/n frakcioj.)

En sistemo kie oni utiligas la ACU-an dividsistemon estas kompreneble eble dividi la bazan distancon en tri partoj (ulnoj) po 63 vs aŭ 60 cm. Se ni ekz. volas prikaluli la areon en cirklo kun radiuso je 10 cm oni konstatas ke 1 vs de la radiuso egalas al 10/189 cm. Tiu cirklo do havas proksimuman perimetron je 1188 * (10/189) = 11880/189 = 62 + 6/7 cm. [62,857142 cm] (2 * 10 * 3,14159 = 62,8318 cm). La areo ampleksas 1188 * 94,5 * (10/189)2 = 1188 * 94,5 * (100/35721)1) = 314.27744 cm² (10 *10 * 3,14159 = 314,159 cm²)

1) En ĝenerala formulo por la areo de cirklo oni povas esprimi la rilato inter la mezuro de la radiuso en cm-oj, mm-oj, coloj, pinopingloj, abipingloj aŭ iun ajn mezuruno kiel x/35721 kie x estas la nombro da mezurunoj. Plej facile estas, kompreneble, ke oni kalkulas laŭ la formulo 2xq = P por la perimetro kaj x²q =A por la areo kie q = 22/7.

La egipta skribisto Ahmose, kiu vivis proksimume 1700 jaroj aK, kopiis /redaktis /verkis ??? la dokumenton pri matematiko, kiun ni nomas "La Rhinda papiroso". Ahmose referas al pli malnova dokumento kiu eble troviĝis jam dum la dekdua dianstio proksimume inter 1849 – 1801 aK. Kelkaj opinias ke la kovroŝtonoj de la Granda Piramido iam estis plena da ĉizaĵon kiuj alludis la matematikajn regulojn en la Rhinda Papiroso. Tiuj "kelkaj", aŭ kiel D-ro Zahi Hawass, ĉefulo ĉe la Muzeo de Kairo, nomas ilin "piramidiotoj", opinias ke tiuj ĉizaĵon estas la vera fonto de la enhavo de la Rhinda Papiroso.

Kiam Ahmose kalkulis li utiligis frakciajn seriojn kun numeratoro 1 ( "primitiva frakcio" aŭ eble "radikfrakcio" (svedlingve "stambråk" kiu ankaŭ povas signifi "genta kverelo":-) ) Nu, mi fakte elektis 1/n-frakcio kiel termino.

Por ke doni ioman percepton pri la matematika lerteco de Ahmose mi montros kiel mi solvas la taskon transformi la frakcion 9/22 al serio da frakcioj kun numeratoro = 1.

Unue malredukti la eliran valoron 9/22 per 2 al 18/44. Partigu la frakcion tiel ke unu parto de la numeratoro donas la valoron 1 je redukto. Do 18/44 = 11/44 + 7/44 = 1/4 + 7/44. Malreduktu 7/44 per 2 al 14/88 kaj partigu la frakcion je 11/88 + 3/88 = 1/8 + 2/88 +1/88.. Ni nun povas konstati ke 9/22 egalas al la frakcia serio 1/4, 1/8, 1/44, 1/88. Tamen, la serioj 1/4, 1/11, 1/22, 1/44 kaj 1/3, 1/22, 1/33 ankaŭ egalas al 9/22. Eble la lastajn seriojn pli bone kongruas al la frakciaj serioj en la Rhinda Papiroso ĉar ili utiligas la malpli grandan denominatoron ol la unua ĉeno. Atentu ke la malplej granda denomiatoro por la ĉeno 1/3, 1/22, 1/33 estas 66.

La skribisto Ahmose ne montras ke li transformas frakciojn kun arbitraj denominantoroj al frakcioj kun numeratoro 1. Laŭ la Rhinda Papiroso ŝajnas kiel li laboris rekte per frakcioj kun numeratoro = 1 utiligante inter alie tabelon pri diviado de 2 per malparaj nombroj inter 3 ĝis 101 (2/3 ĝis 2/101).

En la verko "The World of Mathematics" kiu en la sveda traduko nomiĝas "SIGMA" troviĝas artikolo pri la Rhinda papiroso de la kompilanto James R. Newman. En la fina alino de tiu artikolo li donas la konsilon ke oni provu kompreni kial la "malnovaj" egiptoj kreis sian unikan matematikan sistemon.

LR/K prezentas teorion ke la konstruintoj utiligis la blankajn flankedrojn de la Granda piramido por konservi siajn konojn pri matematiko, geometrio kaj aliaj aferoj. Li referencas al eldiro de la historiisto Herodotos, kiu vivis inter 480 – 420 a.K. Herodotos donis priskribon de la Granda Piramido kaj asertas, ke troviĝis ĉizitaj skriboj kaj bildoj sur la blanka surfaco de la Granda piramido kiuj ampleksus 10 000 paĝojn. Bedaŭrinde ŝajnas kiel ne troviĝas arĥeoligiaj trovaĵoj kiuj apogas ke la blanka surfaco estis kovrita deĵeroglifaj skribaĵoj.

Se tiuj asertoj tamen estas ĝustaj, tiam eblas supozi ke konstruintoj de la piramidaro kreis instruajn bildojn pri frakcioj. Oni povas ekz. montri la sumon de unuopaj partoj de pano = 1 (la tuto) en jena maniero.

1/2 + 1/2 = 1 pandisko

1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 pandisko

1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 1 panpandisko

1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 = 1 pandisko

Same kredebla estas ke oni prezentus tabelojn kun 1/n serioj por ekz 3/5, 3/7, 5/9, 3/11, 3/13 k.t.p

Ekz. 3/5 = 1/2 , 1/10

3/7 = 1/4, 1/7, 1/28

5/9 = 1/2, 1/18

7/9 = 2/3 + 1/9

3/11 = 1/4, 1/44

3/13 = 1/8, 1/16, 1/32, 1/104, 1/416

Tamen je frakciigo de 3/11 kaj 3/13 estiĝas problemojn.

Kiam temas pri 3/11 oni devas malredukti kvar foje antaŭ ol eblas fari la frakcigon: 6/22, 12/44, 24/88 = 22/88 +2/88 = 1/4, 1/44.

La valoro 3/13 postulas ke oni malreduktas ses foje antaŭ ol eblas komenci la frakciigon: 6/26, 12/52, 24/104, 48/208, 96/416, 192/832 =104/832 + 88/832 = 1/8, 52/832 + 26/ 832 + 10/832 = 1/8,1/16,1/32+8/832+2/832 = 1/8, 1/16, 1/32, 1/104, 1/416.

Se la skribisto Ahmose vere komprenis la la matematikan sistemon kiu estas prezentata en la Rhinda Papiroso estas tre strange ke li utiligis tiel malglatan sistemon kiel 1/n frakcioj anstataŭ nia pli moderna metodo kie la nominatoro havu iun ajn valoron.

Je multiplikado estas necese krei tabelon kun entjeroj kaj 1/n- frakcioj. Tamen, ĉar 4, 6, 8 kaj 9 estas multiploj de 2 kaj 3 kaj tial eble ne estas bezonata fari apartajn tabelojn pro tiuj frakcioj.

Jen tabelo kiu donas la produkton de 7/9*5 = 35/9 = 2/3 + 1/9 + 3 + 1/9 = 3 + 2/3 + 2/9 t.e. la valoroj sur linioj 1 kaj 4 en la suba tabelo.

\1 2/3, 1/9

2 11/3, 1/6, 1/18

\4 3, 1/9

8 6, 1/6, 1/18

summe 3, 2/3, 1/6, 1/18

Ĉar multiplikado egalas al ripetada adicio oni nur bezonas sumigi la valorojn laŭ la linioj kies sumo egalas al la multiplikanto. Je multipkio de 7/9 * 5 oni do sumigi la valorojn laŭ linio 1 kaj 4

Plej kredeble Ahmose prenis la valoron 2/3, 1/9 el tabelo en kiu oni prezentas opurtunaj frakciĉenoj. Ekz. laü jenaj tabeloj.

1 1/9

2 1/6, 1/18

3 1/3

5 1/3, 1/6, 1/18

7 2/3, 1/91

1 1/8

2 1/4

3 1/4, 1/8

5 1/2, 1/8

7 1/2, 1/4, 1/8

Je provo malredukti la nobron 8/9 al 1/n-frakcioj sen helpo de la tabelo mi komencis per 2/3, la resto 2/9 ja egalas al 1/9 + 1/9. Ŝajnas laŭ la atrikolo de James R Newman ke oni ne rajtas uzi frakciĉenojn kun du samaspektaj 1/n-frakcioj. Tial estas necese frakciigi la valoron 8/9 al la jena serio: 1/2, 1/4, 1/9, 1/36. Tamen tiu serio ne kongruas kun la tabelo supre. Laŭ la tabelo oni uzu la valorojn por 3/9 + 5/9 = 1/3 + 1/3, 1/6, 1/18 = 2/3, 1/6, 1/18. La tabeloj indikas ke oni nur bezonas frakciĉenojn por nombroj 1,2,3,5 kaj 7 por trovi oportunan frakciĉenon por frakcioj kun denominatoro = 9. La sama afero validas pro frakcioj kun denominatoro = 8.

La artikolo pri la Rhinda papiroso en SIGMA enhavas specimenon de dividado de la valoro 9/10. La problemo estas esprimata kiel "Faru 9 pandiskojn por 10 viroj." T.e. dividu 9 pandiskojn inter 10 viroj.

Tute empire on ja povas konstati ke la porcio da pano ne povas ampleksi tutan pandiskon sed nur parto de ĝi. Jen propono pri praktika solvo de la problemo. Se mi duonigas 5 el la pandiskoj mi povas disdoni 1/2 pandiskon al ĉiu viro. Restas kvar pandiskojn kiujn mi devas partigi en kvar partoj .t.e. mi havas 16 partojn po 1/4 :a pandisko. Je disdonado de 10 el la 1/4-partoj restos 6 partojn. Je duonigo de tiuj partoj mi havos 12 partojn je 1/8 de la pandisko kaj ankoraŭfoje povas disdoni 10 partojn. Nun restas 2/8 = 1/4 pandisko. Praktike oni povus dividi tiun parton en 10 partoj tiel ke 10 viroj estas kontentaj pri la porcio oni ricevas. La frakcia serio do aspektas jene 1/2 , 1/4, 1/8 plus resto de 1/4 pandisko.

La praktika solvo montras ke frakciĉeno komencanta per 1/2 ne donas ekzaktan solvon. Ahmose prezentas jenan klarigon kiu donas ekzaktan solvon:

"La plenumado kiel ĝi estas farata: Faru la multiplikado: 3/2, 1/5, 1/30 oble 10.

1 2/3 1/5 1/30

\2 1 2/3 1/10 1/30

4 3 1/2 1/10

\8 7 1/5

Sume 9 pandiskoj tio estas."

La frakcioj sur linio 1 egalas al 27/30 = 9/10 kaj la sumo de lininombroj 2 kaj 8 = 10. La sumo de la valorojn sur tiuj linioj estas 9. El tio sekvas ke la valoro sur linio 1 egalas al 1/10 de 9 pandiskoj. Do ĉiu viro ricevu 2/3 de pandisko + 1/5 de pandisko kaj finfine 1/30 de pandisko por ke ĉiu ricevu 1/10 de la 9 pandiskoj. La ekzakta solvo tamen ŝajnas iom malpraktika se oni parktike dividu 9 pandiskojn inter 10 viroj.

La frakcio 9/10 unuavide invitas al jena fakciigo: 5/10+2/10+2/10 =1/2, 1/5, 1/5.Tamen, kiel oni dividu pandiskon en 5 partojn ekzakte? Atentinde estas ke la skribisto Ahmose unue devas malredukti la valoron 9/10 per 3 al 27/30 kaj tiu valoro al 54/60 antaŭ ol estas eble frakciigi laŭ la tabelo en la matematika problemo. Do: 54/60 = 40/60 + 12/60 + 2/60 = 2/3, 1/5, 1/30.

El la supra anlizo estas tute klare ke frakciigo de arbitraj frakcioj al 1/n-frakcioj ne ĉiam estas facile farata sen tabeloj. Al mi ŝajnas troviĝi nur unu ebleco atingi la valoron sur la unua linio en la tabelo laŭ la problemo "Faru 9 pandiskoj por 10 viroj": La kreinto de la originalo de la Rhinda Papiroso havis tabelon por 1/10 ĝis 9/10. T.e, se la eldiroj pri la hieoglifaj skriboj sur la flankedoroj de la Granda Piramido estas ĝustaj, la originalo eble troviĝis tie. Laŭ mi ŝajnas pli kredeble ke la kreintoj de la Granda Piramido komprenis kiel oni frakciigi arbitran frakcion al 1/n-frakciĉenoj.

Unu el la problemoj en la Rinda Papiroso temas pri volumeno en cilindra storejo kiu havas diametron je 9 kaj alto de 6. Ahmose utiligis regulon kiu asertas ke la surfaco de cirklo estas [(8/9)*d]2 (8*9/9) * (8*9/9) = 64.

Tio signifas ke la radiuso havas longon je 4,5. Ĉar la cirkla areo = pr2 tiam eblas prikalkuli kiun kvocienton Ahmose utiligis por la rilato inter la diametro kaj la perimetro de cirklo: 64/4,5 * 4,5 = 64/20,25 = 3,1604938. T.e. Ahmose laboris per "p"-valoro kiu devias je 0,0189038 kompare kun la valoro 3,14159...

Malreduko de 8/9 per 3 donas la frakcion 24/27. 1/27 el diametro dividata en 189*2 = 378 vs-oj estas 14 vs-oj kaj 24*14 vs-oj = 336 vs-oj. Ŝajne la skribisto egaligis la areon de cirklo en unueca cirklo kun radiuso je 189 vs kun kvadrato kun latero a1 je 336 vs-oj. T.e. la areo = 336 vs² = 112896 vs². Komparu tiun valoron kun 1892*22/7 = 112266 vs². La diferenco estas nur 630 vs².

Je frakciigo de 336/378 oni partigas la valoron al 252/378 + 63/378 + 21/378 kiu ja egalas al 2/3 + 1/6 + 1/18.

La Rhinda papiroso ampleksas 87 problemoj. Kelkaj el tiuj problemoj estas tre malfacilaj ja eĉ malkompreneblaj por persono kiu ne estas matematikisto. Bedaŭrinde ne eblas doni pli profundan anlizon de la Rhinda Papiroso pro manko de spaco en ĉi tiu malgranda libreto.

Eble pli profunda anlaizo de la Rhinda kaj Moskva papirosoj povas doni pli fortajn indikojn ol mi laika analizo ke la sistemo pri 1/n-frakcioj fontas en la dividsistemo kiun LR/K nomas ACU.